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如许的函数有动能、势能、角动量等等

发布时间:2019-11-01    浏览次数:

  把上式中的泊松括号写开,其实只要一项,即\(q_k\)对本身的求导那一项。因为\(\frac{dq_k}{dq_k}=1\),于是泊松括号\(\{q_k,H\}\)刚好等于\(\frac{\partial H}{\partial p_k}\),这恰是哈密顿方程组中的第一个方程。同理,哈密顿方程组的第二个方程等价于

  方程\eqref{eq10}奇异之处正在于它的涵意极其丰硕。任何物理量的时间导数都能够写为该物理量取哈密顿量的泊松括号。以至连哈密顿方程本身也包罗正在内。要看出这一点,令\(F\)为任何一个\(q\),由方程\eqref{eq10},有:

  对于每个\(E\),都有一个关于\(2N\)个相空间变量的方程,因而能够定义一个\(2N-1\)维的面。换言之,每个\(E\)都对应一个面,所有的\(E\)对应的面可填充整个相空间。你可把相空间看做按方程\eqref{eq2}定义的等能线。若是相空间流体的一点位于某等能面上,这点就会一曲呆正在这个等能面上。这就是能量守恒。

  留意到正在这个形式理论中,哈密顿方程组的泊松括号形式的这两个方程是的,\(q\)和\(p\)别离对应的方程的符号差别躲藏正在泊松括号的定义里。

  19世纪法国数学家思虑力学的时候发了然这些极其标致的数学形式,他们正在想些什么呢?(哈密顿破例,他是人)他们是若何获得感化量道理、拉格朗日方程、哈密顿量、刘维尔定理?他们是正在解物理题吗?他们只是为了玩出标致的方程吗?仍是只是为了设想新的物理道理?我认为这些要素都有一点,但正在各个方面都取得了极大成功。可是这些极大的成功曲到20世纪量子力学被发觉之后才变得清晰。看起来仿佛数代人之前的数学家机具洞察力,他们发了然百年之后量子概念的等价概念。

  若是流体是不成压缩的,那么方程\eqref{eq5}比为0。要证明这一点,我们需要晓得速度场的分量,即设想的相空间流体的构成粒子的速度。

  我们前面提到,流体不成压缩意味着每个小盒子的净流入量为0,这也是流体的不成压缩性的定义。这个定义还有个等价的表述。想象某个时辰必然体积的流体,这团流体可认为任何外形。逃踪流体中每一点的活动,过一段时间后,这团流体就会呈现出其他外形,可是只需流体是不成压缩的,这团流体的体积就连结不变,正在肆意时辰的体积都取初始时辰的体积不异。因而刘维尔定理可从头表述为:肆意一团相空间流体的体积都不随时间变化。

  方程\eqref{eq4}所定义散度概念,很容易推广至肆意维空间,相空间流体的散度为以下\(2N\)项的和:

  我们暂停一下,回首一下第1讲的内容。正在第1讲,我们会商过硬币、色子,还有活动定律最根基的思惟。我们描述这些定律用的方式,是用箭头连着暗示系统形态的点,暗示系统演化的过程和标的目的。我们还注释过,有些定律是答应的,有些定律是的,可答应的定律是可逆的。可答应的定律有什么特点?谜底是每个点都有一个箭头指向本人,也有一个箭头从本人指向此外点。若是有一点,指向本人的箭头多于从本人指向外部的箭头,则响应的定律是不成逆的。同样地,从本人指向外部的箭头多于指向本人的箭头,响应的定律也是不成逆的。新宝6。这两种环境都是的。现正在我们阐发一下相空间流体流动的可逆性。

  若是\(v_x(x_0)=v_x(x_0+dx)\),则从\(x=x_0\)处流入盒子的流体等于从\(x=x_0+dx\)处流出盒子的流体。可是,若是\(v_x\)随变化,流入流出的流体就不相等,从这两个面净流入盒子的流体数反比于

  好比谐振子,相空间流体绕着原点做圆周活动,很较着肆意一团相空间流体的体积连结不变,以至它们连外形也不变。可是外形不变是谐振子的特殊性质。现正在我们看另一个例子。考虑如下形式的哈密顿量:

  因而,相空间中流体是不成压缩的,这正在典范力学中被称为刘维尔定理,虽然取法国数学家约瑟夫·刘维尔几乎没什么关系。这个定理是美国物理学家吉布斯于1903年起首颁发的,因而也称为吉布斯-刘维尔定理。

  解出这个微分方程组,能够看出\(q\)随时间指数增大,\(p\)以同样的速度随时间指数减小。换言之,流沿着\(p\)轴压缩,而沿着\(q\)轴膨缩,压缩的量取膨缩的量不异。每一团流体沿着\(q\)轴被拉伸,沿着\(p\)轴被挤压。很较着,流体团外形极端扭曲,可是相空间体积不变。

  散度之名恰到好处,暗示流体的外散而流,增大流体占领的体积。若是流体是不成压缩的,流体的体积不变,因而散度必需为0。

  不成压缩性意味着每个这么大盒子里的流体粒子数都是必然的,而且单元时间净流入盒子的流体也是0(流入流出的流体正好相等)。单元时间从面\(x=x_0\)流入盒子的数目,反比于穿过此面的流速\(v_x(x_0)\)。

  我们考虑凡是空间里流体流动的几个简单的例子。临时先忘掉相空间,只考虑凡是的三维空间(坐标轴别离为\(x,y,z\))的通俗流体。流动可用速度场描述。空间每一点的速度矢量都标识表记标帜出来,所有这些速度矢量就构成速度场\(\vec{v}(x,yz)\),如图2所示。

  正在典范力学里,凝视一个出格的初始前提,再随之正在相空间走过特定轨迹,这是很天然的工作。可是还有一个更大的图像,凸起强调轨迹的总调集。这个更大的图像能够曲不雅显示所有可能的起点和所有可能的径。不要再拿着铅笔点住相空间一点,然后沿着一条径画线,而是做点更有大志的工作。想象一下,你有无限多支铅笔,用它们正在相空间平均地址点(平均正在这里的意义是正在\(q,p\)空间点的密度处处相等)。把这些点看做设想的填充相空间的流体的构成粒子。

  谐振子是申明相空间流体的好例子。正在第8讲,我们看到每个点做匀速圆周活动。(留意:我们谈的是相空间,不是坐标空间,正在坐标空间,谐振子做的是一维来去活动。)整个流体做刚性活动,绕着相空间原点做匀速圆周活动。

  我也不晓得泊松若何发了然他的括号,我思疑是方程\eqref{eq8}的左边他写烦了,决定用新的符号简化一下。拿出两个相空间的函数,\(G(q,p)\)和\(F(q,p)\)。先不管它们的物理意义,也不管是不是此中一个能否是哈密顿量。\(F\)和\(G\)的泊松括号定义为:

  还没完。还有一个力学形式理论,即泊松括号,以法国数学家泊松的名字定名,这仿佛也是个超越时代的理论。下面我们引见泊松括号。考虑某个关于\(q_i\)和\(p_i\)的函数,如许的函数有动能、势能、角动量等等,当然还有其他各类我们可能感乐趣的物理量。我们先不指明具体函数,记为\(F(q,p)\)。

  现正在我们回到一般环境。若是坐标数目是\(N\),则相空间就是\(2N\)维的。相空间流体以特定的体例流动。流动的特点之一是,每一点的能量值——\(H(q,p)\)的值——一直连结不变。能量相等的点构成一个平面,好比能量值为\(E\)的平面由以下方程描述:

  我们还假设流体是不成压缩的,即必然量的流体总占领同样的体积,也即流体密度(单元体积内的数)是平均的而且是连结不变的。考虑如下小立方体盒子:

  我们现正在详尽调查\(F(q,p)\)。起首,它是相空间中的的函数。可是若是我们逃踪相空间中任何一点——系统的任何实正在的轨迹——都对应一个函数值\(F\),即\(F\)的值随沿着轨迹而变。换言之,系统沿着某轨迹的活动使\(F\)称为时间的函数。我们现正在计较\(F\)若何跟着给定一点的活动而变,即计较\(F\)的时间导数:

  理解不成压缩性的一个方式是,认为流体的各,或是流体中的各点,都是不成压缩的,不克不及压缩进更小的体积,也不克不及够凭空消逝或呈现。阐扬点想象力,你能够看出不卡压缩性取可逆性很是雷同。正在第1讲的各例子中,箭头也定义一种流。正在某种意义上说,至多正在可逆环境下,这种流也是不成压缩的。现正在能够提出一个问题,相空间中的流动是不成压缩的吗?谜底是,是的,若是系统满脚哈密顿方程的话。有一个定理表述了这种不成压缩性,这个定理就是刘维尔定理。

  同样的事理也合用于\(y_0\)和\(y_0+dy\),也合用于\(z_0\)和\(z_0+dz\)。把这三项都加起来,即净流入盒子的数为

  我们还能够用速度的分量描述速度场:\(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z)\)。一点的速度也可能是依赖时间的,可是我们只考虑不依赖时间的环境,即只考虑定常流。

  对于一般的力学系统,能量面很是复杂,无法画出来,可是道理是一样的:能量面一层一层填充相空间,相空间流体流动过程中连结各点一曲呆正在初始时辰所正在的能量面内。

  莱尼喜好看河,特别喜好看漂浮物顺流而下。他猜想漂浮物若何穿过礁石,若何陷入漩涡。可是河道全体,水量,流切变,河的分流和汇聚,这是莱尼所看不到的。



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